Question

已知x,y,z∈R,且x+y+z=8,x^2+y^2+z^2=24,求证:4/3≤x≤3,4/3≤y≤3,4/3≤z≤3

Answer 1

你这个题错了，应该是求证:4/3≤x≤4,4/3≤y≤4,4/3≤z≤4，
否则有反例：x=4,y=2,z=2.

证明:4/3≤x≤4,4/3≤y≤4,4/3≤z≤4的过程如下：

y+z=8-x,
y^2+z^2=24-x^2;

由不等式：(y+z)^2≤2(y^2+z^2)
将以上两式待入得：
(8-x)^2≤2(24-x^2)
化为：3x^2-16x+16≤0,解得4/3≤x≤4。
同理可得，4/3≤y≤4,4/3≤z≤4

Answer 2

x+y+z=8 (1)
x^2+y^2+z^2=24 (2)
x=8-y-z代入（2）：(8-y-z)^2+y^2+z^2=24 展开化简得
y^2+z^2-8y-8z+yz+20=0 (3)
将（3）看作关于y的一元二次方程，整理为：
y^2+（z-8)y+(z^2-8z+20)=0
y,z∈R,则Δ=b^-4ac>=0
即（z-8)^2-4*(z^2-8z+20)>=0
化简得：-3z^2+16z-16>=0
即 （z-4)(-3z+4)>=0
则有 4/3≤z≤4
同理可证 4/3≤x≤4,4/3≤y≤4

Answer 3

很显然，题目错误，X可以大于3，当X=4,Y=2,Z=2,符合已知条件
应该求的是
正确答案：
（x+y+z)^2=64=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)
xy+yz+xz=20
即
因为y+z=8-x,yz<=(Y+Z)^2/4
20=X(Y+Z)+YZ=X(8-X)+YZ<=8X-X^2+(Y+Z)^2/4
化简得到
3X^2-16X+16<=0
即（3X-4)(X-4)<=0
所以4/3<=x<=4
同理证明其余2个