Question

解微分方程

yy'-xy'^2-y+xy'=y'

Answer 1

对方程求导数：
(y'^2+yy'')-(y'^2+2xy'y'')-y'+(y'+xy'')=y''；整理得到(y-2xy'+x-1)y''=0，则有y-2xy'+x-1=0或y''=0.
若y''=0，解为y=Ax+B。代回原方程：(Ax+B)A-xA^2-(Ax+B)+xA=A，有B=A/(A-1)。则y=Ax+A/(A-1)是方程的一组解，其中A≠1∈R.
若y-2xy'+x-1=0，这是线性非齐次方程，对应的齐次方程是y-2xy'=0，通解是y=Csqrt(x)；可以猜出方程的一个特解为y=x+1，故全解为y=Csqrt(x)+x+1。代回原方程[可变形为(y-y'x)(y'-1)=y']，化简后可以解出C=±2。则y=2sqrt(x)+x+1或y=-2sqrt(x)+x+1也是方程的解。

追问

谢谢，您能说一下一般解非线性微分方程的大致思路吗？

追答

解非线性微分方程没有固定思路，基本靠一些取巧的办法例如：通过分解因式或换元转化成线性方程；高阶方程若能猜出一组解可以降一阶；用积分变换处理一些特殊方程等等。多数情况下都不能求出解析解。

Answer 2

y=ln(xy), y'=1/(xy)*(y+xy') => y'=y/(xy-x)y''=[y'(xy-x)-y(y+xy'-1)]/(xy-x)^2=-(xy'+y^2-y)/(xy-x)^2(xy-x)y''=-(xy'+y^2-y)/(xy-x)=(-xy^3+2xy^2-2xy)/(xy-x)^2xy'^2=xy^2/(xy-x)^2yy'=y^2/(xy-x)=(xy^3-xy^2)/(xy-x)^2-2y'=-2y/(xy-x)=(-2xy^2+2xy)/(xy-x)^2(xy-x)y''+xy'^2+yy'-2y'=[(-xy^3+2xy^2-2xy)+(xy^2)+(xy^3-xy^2)+(-2xy^2+2xy)]/(xy-x)^2=0∴y=ln(xy)符合方程(xy-x)y''+xy'^2+yy'-2y'=0即y=ln(xy)为上述微分方程的解

追问

看不懂，能说说思路吗
，不要倒着去解。

Answer 3

Answer 4