Question

如图,四边形abcd是平行四边形,在边ab的延长线上截取be=ab，点f在ae的延长线上，ce和de交于点m，bc和df交n

如果ad²=ab*af，求证cm*ab=dm*cn

Answer 1

因为ad²=ab*af
所以ad/af=ab/ad
因为角A等于角A
所以三角形ADF跟三角形ABD相似
所以∠ADF=∠F
因为BE平行且等于DC
所以BECD是平行四边形
所以∠BCE=∠CBD
因为∠DBC=∠ADF
所以∠F=∠BCE
因为∠F=∠FDC
所以∠FDC=∠BCE
因为∠CMN=∠CMN
所以三角形CMN相似于三角形CDM
所以DM/CM=DC/CN
所以CM*DC=DM*CN
DC=AB
所以CM*AB=DM*CN

Answer 2

由ad²=ab*af, 得ad/af = ab/ad
∠A是公共角，对应边成比例，所以△ADB与△AFD相似
所以∠ADB=∠F
再由条件abcd是平行四边形，ab=be，所以ab=dc=be，dc、be平行且相等，dbec也是平行四边形
∠ADB=∠DBC=∠BCE
∠F=∠CDF
所以∠BCE=∠CDF，得△CNM与△DCM相似对应边成比例，所以有cm/dm=cn/dc。又由于dc=ab，所以cm*ab=dm*cn