Question

已知函数f(x)=(ax^2+4)/x,且f(1)=5,(1)求a的值(2)判断函数f(x)在[2,+∞）上的单调性，并加以证明。

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Answer 1

由题知 f(1)=5 可求得a=1
f(x)=(x^2+4)/x=x+4/x
由x+a^2/x函数的性质知，在【a,+∞】递增

法二：f'(x)=1-4/x^2
另其=0求得x=2,又 当x>2时 f'(x)>0 则由导数性质知 在[2,+∞）递增

法三：f(2)=4,当x1<x2且在[2,+∞）区间时，f(x1)-f(x2)=x1-x2+4(1/x1-1/x2)
=x1-x2-4(x1-x2)/x1x2
=(x1-x2)(x1x2-4)/x1x2

因为 x1 x2>2,即xix2>4,x1-x2<0,x1x2>0
知f(x1)-f(x2)<0即证 递增

Answer 2

解：（1）∵f91）=5
∴a+4=5
∴a=1
(2)f(x)=(x²+4)/x在[2,+∞)上单调递增
∵f′(x)=(x+4/x)′=1-4/x²>0 ,得x<-2或者x>2时，单调递增；f′(x)<0，得-2<x<2时，单调递减
∴函数f(x)在[2,+∞）上的单调递增

Answer 3

1).f(1)=a+4=5,所以a=1
2). 所以f(x)=x+4/x
设实数u，v 均 >=2，且u < v
则f(v)-f(u)=v+4/v-u-4/u=v-u+4*(1/v-1/u)=(v-u)-(v-u)*4/(vu)=(v-u)*(1-4/vu)
因为v>u>=2,所以4<vu，所以4/vu<1.且v-u为正。所以f(v)-f(u)>0.
所以f(x)在[2,正无穷）上为增函数。

Answer 4

1. a+4=5,a=1

2. 递减。

   证明；f'(x)=1-4/x^2在[2,+∞）上，f'(x)<0,即

   函数f(x)在[2,+∞）上递减。

Answer 5

(1)已知：f(1)=a+4=5

得a=1
（2）f(x)=(x^2+4)/x
f(x)'=2x/x-(x^2+4)/x^2
=(x^2-4)/x^2
由x≥2，x^2≥4
f(x)'≥0
f(x)单调递增

Answer 6

1. 将x=1代入，得a=1

2. f'(x)=1-4/(x^2),当x≥2时，f'(x)≥0，

   故单调递增