Question

在三角形ABC中,AB=AC,E为AC延长线上一点,D为AB上一点,且BD=CE，DE交BC于M

求证：DM=EM

Answer 1

解：过点D作DF∥AE，交BC于点F

∵DF∥AE（已作）

∴∠DFB=∠ACB（两直线平行，同位角相等）

∵AB=AC（已知）

∴∠B=∠ACB（等边对等角）

∴∠DFB=∠B（等量代换）

∴DB=DF（等角对等边）

又∵BD=CE（已知）

∴DF=CE（等量代换）

∵DF∥AE（已作）

∴∠E=∠FDM（两直线平行，内错角相等）

在⊿FDM与⊿ECM中

    ∠E=∠FDM（已证）

    ∠DMF=∠EMC（对顶角相等）

         DF=CE（已证）

∴⊿FDM≌⊿ECM（A.A.S）

∴DM=EM（全等三角形的对应边相等）

Answer 2

过点E作BA的平行线，交BC的延长线于点F
易知三角形ABC相似于三角形EFC，所以三角形CEF也为等腰三角形，所以EC=EF；又：EC=BD，所以EF=BD；在三角形BDM和三角形FEM中：因为角DMB=角EMF（对顶角），角B等于角F（AB平行于EF），DB=FE，所以三角形BDM相似于三角形FEM（AAS），所以DM=EM

Answer 3

过D点做BC平行线交AC于N点由于AB=AC则三角形ABC为等腰三角形，推出BD=NC由于BD=CE则
NC=CE，又DN//BC根据相似原理得ME/MD=CE/CN,CE=CN,由此证得结论。