在三角形ABC中,p=(a+b+c)/2,证明海伦公式S=abs[p(p-a)(p-b)(p-c)].

匿名用户
2013-07-31
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____海伦公式的证明归结为一元二次方程的解。同学啊,
这个在初中七年级就学过了啊!你画画图嘛,你是不是太懒了?
证明:海伦公式:若ΔABC的三边长为a、b、c,则
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4(这是海伦公式的变形,“负号“-”从a左则向右经过a、b、c”,负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期!我觉得这么记更简单,还设个什么l=(a+b=c)/2啊,多此一举!)
证明:设边c上的高为 h,则有
√(a^2-h^2)+√(b^2-h^2)=c
√(a^2-h^2)=c-√(b^2-h^2)
两边平方,化简得:
2c√(b^2-h^2)=b^2+c^2-a^2
两边平方,化简得:
h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))
SΔABC=ch/2
=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2
仔细化简一下,得:
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4

用三角函数证明!
证明:
SΔABC=absinC/2
=ab√(1-(cosC)^2)/2————(1)
∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
∴代入(1)式,(仔细)化简得:
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4

肯定是楼主太懒了,懒得化简、变形!
匿名用户
2013-07-31
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