Question

一道九年级数学题

如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为_____
请写出答案及步骤

Answer 1

在AB上取一点F，使AF＝AE，连CF交AD于一点，这点就是M。下面给出证明：
∵△ABC是等边三角形，BD＝CD，∴∠CAD＝∠BAD，结合AE＝AF，AM＝AM，得：
△AME≌△AMF，∴EM＝FM，∴EM＋CM＝FM＋CM＝CF。

若M为另一点时，CFM就构成的一个三角形，由三角形两边之和大于第三边，
得：FM＋CM＞CF，即：EM＋CM＞CF。

∴当M为CF与AD的交点时，EM＋CM有最小值。
过C作CG⊥AB交AB于G。
∵△ABC是等边三角形，而CG⊥AB，∴AG＝AB/2＝6/2＝3，又AF＝AE＝2，∴FG＝3－2＝1
容易求出：CG＝3√3。
由勾股定理，得：
CF＝√（CG^2＋FG^2）＝√（27＋1）＝2√7，即：EM＋CM的最小值为2√7。

注：这是在定直线AD上求一点M，使点M到AD一侧的两定点C、E的距离之和为最小值的问题。
　　这类问题的解决通法是：
　　作其中一个定点关于定直线的对称点，然后连结该对称点与另一定点交定直线于一点，这一　　点就是所要求的点。

Answer 2

连接MB 因为MD为中线，所以三线合一，MD为BC边的垂直平分线
所以MB=MC
所以MC+ME的最小值即MB+ME的最小值
即当M B E三点共线时MB+ME最小
即BE的长
根据余弦定理BE^2=4+36-2*2*6*cos60=28
BE=2倍根7
即 MC+ME的最小值为2倍根7