Question

一道数学题，求答案

Answer 1

庞涓能确定孙膑肯定不知道这两个数，可以有这样几个推论。

(A)庞涓手上的数字是5-197之间的数字。

(B)庞涓的和数一定不能拆成两个质数之和，否则就不会有确信。
这可以分解为两点： 庞涓手上不是偶数，只可能是奇数，因为任意大于4偶数能被拆成两个奇质数之和，这是由歌德巴赫猜想来保证； 并且庞涓手上的奇数不是2+质数。

(C)庞涓的和数一定不是大于53的奇数。因为大于53的奇数始终能够拆成偶数和53（是质数）的乘积， 这个乘积只能唯一的推断出53和该偶数的乘积，否则就要大于99了。另外97是质数。
同理应该排除97+2到97+98的所有奇数。
最后剩下的是99+98的奇数，因为都是最大的数，孙膑本来就可以推理出来，与孙膑本来不知道的前提相矛盾，自然排除了。
因此由此可以排除超过53以上的所有奇数。

(D)满足以上条件的这样的数字仅有10个：11，17，23，27，29，35，37，47，51，53。

2、孙膑知道自己手中的积，并说本来不知道，但现在知道了。意味着， 孙膑看了自己手上的积后分解因式对应的所有组合的和，只可能是上述10个数中的一个。
也就是10个和数拆开的乘积不于其他和数拆开乘积重合的才可能是孙膑的积。
这种积有许多种，关键是庞涓的第三句话。

3、庞涓是知道自己手中的和数，当孙膑说了这句话的时候，庞涓说也知道这两个数字了， 那庞涓手上的和数有一个特点，就是除一个例外的可能积，其他可能的积都无法满足前面所言， 否则庞涓没有这种自信。
也就是在10个和数中找出积的数组合中只有唯一一对数可以满足前面的条件。
这时需要结合第二个条件，怎么利用这个条件呢？
以17做为例子： 假设分解为3+14，那么积为52，而42=3*14=2*21=6*7，对应的和有17,23,13 而当中的17和23均为候选解，也就是说假如孙膑手上的数是42，他就无法知道正确的分解， 所以17不能分解为3+14。
类似地可以构造以下这个可以满足第二条件的分解列表：
11的可能的分解：(4,7),(3,8),(2,9),
17的可能的分解：(4,13),
23的可能的分解：(10,13),(7,16),(4,19),
27的可能的分解：(13,14),(11,16),(10,17),(9,18),(8,19),(7,20),(5,22),(4,23),(2,25),
29的可能的分解：(13,16),(12,17),(11,18),(10,19),(8,21),(7,22),(6,23),(4,25),(2,27),
35的可能的分解：(17,18),(16,19),(14,21),(12,23),(10,25),(9,26),(8,27),(6,29),(4,31),(3,32),
37的可能的分解：(17,20),(16,21),(10,27),(9,28),(8,29),(6,31),(5,32),
41的可能的分解：(19,22),(18,23),(17,24),(16,25),(15,26),(14,27),(13,28),(12,29),(10,31), (9,32),(7,34),(4,37),(3,38),
47的可能的分解：(23,24),(22,25),(20,27),(19,28),(18,29),(17,30),(16,31),(15,32),(13,34), (10,37),(7,40),(6,41),(4,43),
53的可能的分解：(26,27),(25,28),(24,29),(23,30),(22,31),(21,32),(20,33),(19,34),(18,35), (17,36),(16,37),(15,38),(13,40),(12,41),(10,43),(8,45),(6,47),(5,48),
当中只有17有唯一可行的分解，所以庞涓才可能确定自己手上的数。

所以本问题的答案为4,13

Answer 2

是3和5，因为孙膑知道积就知道那两个数字，所以那两个数都是质数。而庞涓知道和，且知道两个数都是质数，就能推出。所以那两个数字是3和5。
孙膑知道的积是15，只能是3和5
庞涓知道的和是8，可以是2，6或3，5。但如果是2，6的话，孙膑的积就是12，就无法知道那两个数具体是什么了。
4和13就不可能了。那样的话孙膑的积是52，可以是4x13或2x26，所以孙膑不可能知道那两个数是什么。
所以答案是3和5。