Question

问一个三重积分中变换积分顺序的题目

不太能理解这样的坐标变换+积分变换的，有老师能讲解一下吗？还有，图片中我算的那种方法存在哪些问题呢？

Answer 1

你的问题也是大部分初学者也犯着的问题

当立体Ω是由两个横截面围成的，首选切片法，即先二后一法，最后对z积分

若要改为投影法的话，需要用大立体减去小立体，它们之间是个圆环，直接用公式的话会漏掉积分域的，尤其是你的积分限中由头到尾都未出现过r²，只是常数的话，那积分域表达的岂不是圆柱体？？所以别混淆了，正确解法如下：

若立体是由曲面和横截面或曲面和曲面围成的，可直接用投影法。

追问

由曲面和横截面或曲面和曲面围成的，这两种情况具体图形是怎么样的？

追答

曲面和横截面的情况：

区域就是由一个抛物面和一个平面所围成，z的所以下限取抛物面方程，上限取平面方程
曲面和曲面：
可以由两个抛物面围成，一个顶在上，一个顶在下，那么z的积分限分别取它们的方程
而切片法就适用于两个平面之间围着的区域
圆锥体和球体这两种方法都可用

追问

ok，知道了，有没有相关的题目提供一下啊哈哈，想熟悉一下。

追答

切片法：适宜用于被积函数f(x，y，z)能表示为f(z)时，即只有关于z的函数。
还有个球面坐标法，当积分区域Ω是球体x² + y² + z² ≤ a²时，用球面坐标法比较容易。
注意切片法的积分次序是最后才对z积分：a(z)是关于z的函数
即∫∫∫Ω f(x，y，z) dV = ∫(0→c) dz ∫(0→2π) dθ ∫(0→a(z)) f(rcosθ，rsinθ，z) r dr
而投影法的积分次序是首先对z积分：c(r)是关于r的函数
即∫∫∫Ω f(x，y，z) dV = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr ∫(0→c(r)) f(rcosθ，rsinθ，z) dz
http://zhidao.baidu.com/question/155568620.html
http://zhidao.baidu.com/question/549994883.html
http://zhidao.baidu.com/question/501468158.html
http://zhidao.baidu.com/question/155589087.html
http://zhidao.baidu.com/question/436520256.html
http://zhidao.baidu.com/question/472220366.html
http://zhidao.baidu.com/question/494530852.html
http://zhidao.baidu.com/question/471964944.html
http://zhidao.baidu.com/question/90747770.html
http://zhidao.baidu.com/question/411300845.html
http://zhidao.baidu.com/question/96735111.html
http://zhidao.baidu.com/question/475465749.html
可以看到，用切片法还是比较容易的。
切片法和投影法可以互换，它们都是柱面坐标的形式。
如果能适宜运用对称性的话，过程又会快很多。
要是Ω是棱锥体，例如三角锥体的话，用直角坐标好了。

Answer 2

你的解法中，ρ的上限均为√2，但实际上ρ的上限是随着y的变化而变化的，上限是√y，当y=2时上限恰为√2，这是你解法中错误的地方

追问

那如果积分顺序是∫ dθ dρ dy，应该怎么算呢？你能不能发个演算上来看看

追答

先y再ρ然后θ?这个顺序非常麻烦的，可以说这么来是没法算的，正确的顺序应该是先θ或ρ再y，这样就和解答是一样的方法了