Question

设f(x)在[a,b]上连续,证明:若0<λ≤1,则存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=λf(a)+(1-λ)f(b)

麻烦证明一下 稍微详细一点
还有啊 这种题目 该怎么着手做呢

Answer 1

这题只需利用连续函数的中值定理，即对于任意C在f(a)和f(b)之间，都存在
ξ∈[a,b],使得f(ξ)=C
此处因为0<λ≤1,所以0≤1-λ<1
而
min{f(a),f(b)}≤f(a)≤max{f(a),f(b)}
min{f(a),f(b)}≤f(b)≤max{f(a),f(b)}
所以
λmin{f(a),f(b)}≤λf(a)≤λmax{f(a),f(b)}
(1-λ)min{f(a),f(b)}≤(1-λ)f(b)≤(1-λ)max{f(a),f(b)}
相加可得
min{f(a),f(b)}≤λf(a)+(1-λ)f(b)≤max{f(a),f(b)}
所以令第一行的C=λf(a)+(1-λ)f(b)，由连续函数中值定理即得

注：min{x,y}表示取x,y中的最小值，max则为最大值