Question

若定义在R上的函数f(x)对任意的x1，x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立，且当x＞0时，f(x)＞1.

若定义在R上的函数f(x)对任意的x1，x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立，且当x＞0时，f(x)＞1.
（1）求证：g(x)=f(x)-1为奇函数；
（2）求证：f(x)是R上的增函数；
（3）若f(4)=5，解不等式f(3m^2-m-2)＜3.

Answer 1

解：
(1)
令x1=x2=0,得到f(0)=1.
令x1=x,x2=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)-1=1,
∴f(x)-1=-(f(-x)-1),
即f（x）-1为奇函数
(2)
令x1=x, x2=-y，x,y属于R，且x>y,
∴x-y>0,
由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1 可知：f(x-y)=f(x)+f(-y)-1>1
由(1)知f（x）-1为奇函数，
∴f(-y)-1=-(f(y)-1),
上式可化为：f(x-y)=f(x)+f(-y)-1=f(x)-(f(y)-1)>1,
∴f(x)-f(y)>0.
即f（x）在R上的增函数。
(3)
∵f（4）=5，令x1=x2=2,
则f(4)=f(2)+f(2)-1=5,所以f(2)=3；
∴f(3m²-m-2)＜3=f(2),
由(2)可知f（x）在R上的增函数,
∴3m²-m-2<2，
解得 -1<m<4/3

Answer 2

第一题很简单 直接用定义g(-x)=-g(x)
第二题也不难 设x1<x2 ，因为g(x)和f(x)有相同的单调性 所以f(x)为单调函数
不妨设x1>0 那么 f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+y)=f(x1)-f(x1)-f(y)+1=1-f(y) 因为当y＞0时，f(y)＞1
所以 f(x1)-f(x2）=1-f(y)<0 所以 f(x)为增函数
第三问 若f(4)=f(2)+f(2)-1=5 所以 f(2)=3 因为f(x)为增函数 所以 3m^2-m-2<2 解出来就行了