Question

已知函数f(x)是R上的偶函数g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若g(1)=2,则f(2012)的值为

Answer 1

解：
可先证明f(x)是周期函数。
g(x)=f(x-1) g(1)=f(0)
g(-x)=f(-x-1)
由于g(x)为奇，　g(-x)=-g(x)
∴　f(-x-1)=-f(x-1)　　 ①
又f(x)为偶，f(-x-1)=f(x+1)，
∴　f(x+1)=-f(x-1) ②
在(2)中x+1替换x，得
f(x+2)=-f(x) ③
在(3)中用x+2替换x，得
f(x+4)=-f(x+2)　　　　　　④
对比③④ 得
f(x+4)=f(x)
即f(x)是以4为周期的周期函数。
∴　f(2012)=f(0)＝g(1)=2，

Answer 2

g(x)=-g(-x)=-f(-x-1)=-f(x+1)=f(x-1),则-f(x+2)=f(x).故f(0)=-f(0+1006*2)=-f(2012)=2,f(2012)=-2