Question

一道高一数学函数单调区间的题目 已有大神解答但答案没看明白、、

原题：已知函数f(x)=8+2x-x²,g(x)=f(2-x²)，试求g(x)的单调区间

求哪位大神在详细讲解、、

Answer 1

g（x）是一个复合函数，内函数是U（x），外函数是f（x）。

要讨论g（x）的单调区间，需要用到复合函数单调性判定法则，即：在同一区间上，内函数与外函数单调性相同的时候，函数单调递增；否则，递减。

第一步和第二步就是判断内函数与外函数的单调性。
现在问题是，根据第二步，.f(x）在(-∞,1]上递增，在[1，+∞）上递减，这里的递增递减是针对其自变量而言的，然后g（x）=f(2-X²),的自变量x与f（x）中的自变量x的取值并不相同。

由第二步中的f（x）的单调性，我们知道，g（x）=f（u），当u在(-∞,1]上取值时，g（x）随u递增而递增；当u在[1，+∞）上取值时，g（x）随u递增而递减。注意，我们这里说的是随着u的变化而变化，因为这单纯利用了f（u）的单调性，跟x暂时无关。

那么第三步就是求，u何时取值在(-∞,1]上，又何时在[1，+∞）上。令u（x）=1,（1是f（x）单调性的节点。）可以解得x=+1或者-1时，u（x）=1.

我们综合起来看: （第四步有一点点问题，应该是当x在(-∞,-1]时，。。。）
当x在(-∞,-1]时，U（x）=2-X²递增 （由于第一步的讨论，(-∞,-1]包含在(-∞,0]中）
并且当x在此区间上时，u（x）值域为(-∞,1] （u（x）递增，最大值在-1时取得，而x趋近于-∞
时，u（x）趋近于-∞，故其值域为(-∞,1]）。
显然f（u）在u属于(-∞,1]上随u递增而递增。

那么仔细想想，x在(-∞,-1]时，如果x递增，那么U（x）=2-X²显然递增，（并且此时u（x）在(-∞,1]上取值），u递增，显然f（u）也递增，即g（x）=f（u）随着x递增而递增，也就是说g（x）在(-∞,-1]上递增。

同样道理，当x在[1,∞)上时，u（x）递减，
并且u（x）值域为(-∞,1] （u（x）递减，最大值在x=1时取得）
而f（u）在u属于(-∞,1]时，随着u递增而递增，随着u递减而递减。 （f（u）在该区间上是增函数）
这样x在[1,∞)上时，若x递增，则u递减，g（x）=f（u）递减。g（x）随x递增而递减，表明g（x）在[1,∞)上为减函数。

现在剩下（-1,1）这个区间了。可以看到u（x）在该区间上单调性并不一致，所以分开来讨论，
分为（-1,0]和（0,1）。
我们首先应该看到，在x属于（-1,1）时，u（x）值域为（1，2]。而在这一区间上，f（u）是单调的，单调减函数。这是外函数的单调性。
内函数u（x）在（-1,0]上递增，在（0,1）上递减。
由复合函数单调性法则，g（x）=f（u）在x属于（-1,0]上递减。 （内函数递增，外函数递减）
g（x）=f（u）在x属于（0,1）上递增。 （内函数递减，外函数递减）

当然，前面的分析也都是基于单调性法则的，也可以说是对单调性法则的剖析。前面我说的那么详细，只是为了便于你理解，其实质就是单调性法则。
这里我们也可以用前面的分析方法来思考。
当x属于 （-1,0]时，若x递增，则u（x）递增，且u（x）取值包含于f的单调减区间[1，+∞）中，故f（u）随u递增而递减，从而g(x)=f（u）随x递增而递减。
x属于（0,1）的分析就不再说了，是一样的。

综合上述，g（x）在(-∞,-1]上为增函数，在（-1,0]上为减函数，在（0,1）上为增函数，在[1,∞)上为减函数。

Answer 2

因为 f(t)=-(t-1)2+9 所以t>1和t<1的单调性不同。t=1为点，不影响函数单调性。t>1，f(t)单调递减也就是所谓的减函数。t<1相反。
后面那四个，就是分别讨论x,t的取值不同，对f(t)和t(x)的增减性影响。由同增异减法则。两个都是增函数或者减函数的时候复合函数为增函数，一增一减复合函数为减函数。你自己套一下吧，
纯手打，望请采纳。

追问

我还是不明白

是怎么来的。。。t(x)最大值怎么会是1呢。。还有后面的t为什么会≥1？

追答

我仔细看了一下，你的这个答案有点问题。你问的那个地方的分析是没有意义的。当x可以任意取值的时候，听到范围就是小于等于2。
不过是由于第一个f(t)的函数中当t>或者1.明显不成立。反正他的意思是通过分别讨论两个函数在固定情况下的单调性，又因为x的变化影响t的变化，然后通过复合函数的同增异减法则判断单调性。

Answer 3

能用导数法解 本人考研 可以问我