Question

和为10的正整数有多少个排列组合

任意个正整数相加等于10，请问怎么计算有多少种排列组合。这些数字个数不限，最终这些数字相加和为10.比如1+9、2+8、1+2+3+4...有没有快捷的方法把他们都算出来。不用一个个去穷举的
数字是可以重复的。比如1+1+1+2+2+3

Answer 1

答案是2^9=512.

幻想10根火柴，初始手持有1根，第二根可以选择持有或不持有，这有两种选择。如果选择不持有，那么第一个数就是1（手中火柴数），然后对剩下的9根火柴如法炮制。如果选择持有，则手中有2根火柴，然后对剩下的8根火柴如法炮制。每次在选择不再持有的时候得到一个手持火柴数，就作为一个加数。反之，显然每个组合都对应这样一次选火柴的过程。因为每次都有2种选择，选了9次，所以答案是2^9。

Answer 2

C(9,1)+C(9,2)+C(9,3)+C(9,4)+C(9,5)+C(9,6)+C(9,7)+C(9,8)+C(9,9)
=2^9-1
=512-1
=511
任意个正整数相加等于10，共有511种排列