Question

已知函数f(x)=log2(x+1),将y=f(x)的图像向左移1个单位

,再将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图像，求函数F(x)=f(x)-g(x)的最大值

Answer 1

根据题意，g(x)=2log2(x+2) (x>-2) ，
因此 F(x)=f(x)-g(x)=log2[(x+1)/(x+2)^2] (x>-1) ，
令 t=x+1>0 ，那么 (x+1)/(x+2)^2=t/(t+1)^2=t/(t^2+2t+1)=1/(t+1/t+2) ，
由均值不等式可得 t+1/t>=2 ，因此 (x+1)/(x+1)^2<=1/(2+2)=1/4 ，
所以 F(x) 最大值为 log2(1/4)= -2 （当 x=0 时取）。