Question

1+1/1+2+1/1+2+3+1/1+2+3+4+.…………+1/1+2+3+.……+10的简便运算

Answer 1

先看原加式中除第一个数值1以外每一个加数的分母的特征，1+2、1+2+3、1+2+3+……，
这是一个自然数递增序列，有一个关于将加数为自然数递增的数求和的公式为，
和=（首项+末项）*项数/2，
而作为分母的数值是从1开始的所以有，
1+2+....+n =（1+n）*n/2，
所以，原加式中每一个加数都可以变形为：2/（n*（n+1）），
又因为，1（n*（n+1））=（1/n） - （1/（n+1）），
举例：原加式中的1/（1+2），
可以首先变换为：1/（（1+2）*2/2），
继续变形为：2/（（1+2）*2），
把上式变形为 2*（1/（2*3））
继续变形为：2*（（1/2）-（1/3）），
同理，将原加式中各加数整理变形后，可得：
1/（1+2+3）=2*（（1/3）-（1/4）），
1/（1+2+3+4）=2*（（1/4）-（1/5）），
……
将变形后的原加式的一部分，提取公因式2后，得到：
2*（（1/2）-（1/3）+（1/3）-（1/4）+（1/4）-（1/5）+……+（1/10）-（1/11）），
由此可见，在提取公因式2后的原加式的变形中从第一个加数开始与其后的加数的一部分可以抵消掉，所以，原加式经过抵消后，可得：
2*（（1/2）-（1/11），
又因为完整的原加式中还有一个数值1，将数值1变形为2*（（1/2）），
又因为1/2=1-（1/2），所以变形后的原加式中的数值1最终变形为2*（1-（1/2）），
将之与之前原加式中的其他加数变形消减后的得式合并，得：
2*（1-（1/2）+（1/2）-（1/11）），再次发现消减项，整理后，可得：
2*（1-（1/11））=2*（10/11）=20/11=1又9/11，
也就是说，如果不计算原加式中的加数1的话，其他各分数项相加的和为9/11，即
1/（1+2）+1/（1+2+3）+1/（1+2+3+4）+……1/（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）=9/11.
2016年11月01日星期二。

Answer 2

原式
=1+1/3+1/6+1/10+1/15+1/21+1/28+1/36+1/45+1/55
=2×(1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110)
=2×(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11)
=2×(1-1/11)
=2×10/11
=20/11

公式:
1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+……+1/(1+2+3……+n) = 2n/(1+n)