Question

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,并且AF=CE.

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论。
第一小题跳过（当然你要回答也可以）就写第二、三小题就好……
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

Answer 1

（2）当角B=30度，角BCE=30°，所以角ECA=60°，三角形ECA为等边三角形，EC=CA，且FACE为平行四边形，所以为菱形。
（3）不可能，因为E为AB中点，角ACB为90°，所以角ACE小于90°，不可能是正方形。

Answer 2

（1）因为∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D，所以BD=DC，DE//AC，易知ED是中位线，BE=EB，EC=AB/2=AE，∠DEC=∠ECA=∠EAC=∠FEA
又AF=CE，所以AF=AE，∠EFA=∠FEA=∠DEC从而CE//AF，故四边形ACEF是平行四边形
（2）因为四边形ACEF是平行四边形，所以要四边形ACEF是菱形，
须
AC=CE，而CE=AE（（1）中已证），即三角形ACE是等边三角形，∠BAC=60°，
又∠ACB=90°，因而∠B=90°-60°=30°
因此当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形。
（3）四边形ACEF不可能是正方形。因为∠ECA<∠ACB=90°