Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+1（a,b为实数）

（1）若f(x)有一零点为-1，且函数f(x)的值域为[0，正无穷），求f(x)的解析式。
（2）在（1）的条件下，当x属于[-2,2]时，g(x)=f(x)-kx的单调函数，求实数k的取值范围。

Answer 1

f（x）=ax^2+bx+1 f（-1）=0
所以只有-1一个零点
所以f（x）=x^2+2x+1
求导h（x）=2x+2-k 在[-2,2] 只为正或只为负
k (负无穷,-2] 或[6,正无穷)

追问

第一问可以再细一些么，怎样求出a和b

追答

由值域可得，函数为二次函数且开口向上，最小值为0
所以a>0 判别式=0 对称轴为x=-1
可以求出a=1 b=2

Answer 2

解1：
f(x)=ax²+bx+1
依题意：f(-1)=0
有：a×(-1)²+b×(-1)+1=0
即：b=a+1…………………………(1)
f(x)=ax²+(a+1)x+1
f(x)=a{x²+[(a+1)/a]x+1/a}
f(x)=a{x²+[(a+1)/a]x+[(a+1)/(2a)]²-[(a+1)/(2a)]²+1/a}
f(x)=a[x+(a+1)/a]²-(a+1)²/4a+1
f(x)=a[x+(a+1)/a]²-(a²+2a+1-4a)/4a
f(x)=a[x+(a+1)/a]²-(a-1)²/4a
已知：f(x)的值域是[0，∞)，
所以：(a-1)²/4a=0
即：(a-1)²=0
解得：a=1
代入(1)，有：b=1+1=2
代入所给，有：f(x)=x²+2x+1

解2：
由解1知：f(x)=x²+2x+1
故：g(x)=x²+2x+1-kx
g(x)=x²+(2-k)x+1
g'(x)=2x+2-k
1、g'(x)＞0，即：2x+2-k＞0时，g(x)为单调增函数。
此时，有：k＜2x+2
而：x∈[-2,2]
因此，有：k∈(-∞，-2)
2、g'(x)＜0，即：2x+2-k＜0时，g(x)为单调减函数。
此时，有：k＞2x+2
而：x∈[-2,2]
因此，有：k∈(6，∞)
即：k∈(-∞，-2)和k∈(6，∞)时，g(x)在x∈[-2,2]上是单调函数。

Answer 3

原式求导有f，（0）＝-1，解得b为-1。由值域知道对称轴最低点处取得最小值为0，将x＝2a分之1带入f（x），解出a的值