Question

在三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+根号2ab=c2.

（1）求角C（2）设COSACOSB=3根号2/5，(COS(α+A)COS(α+B))/COS²α=根号2/5，求TANα的值.

Answer 1

a2+b2+根号2ab=c2？
是不是a²+b²+(√2)ab=c²吧？

解1：
由余弦定理，有：c²=a²+b²-2abcosC
已知：a²+b²+(√2)ab=c²
因此有：a²+b²-2abcosC=a²+b²+(√2)ab
即：cosC=-(√2)/2
因为：C是三角形内角，
所以：C=135°。

解2：
由解1有：C=135°，又知：C=180°-(A+B)
所以：sinC=(√2)/2，即：sin[180°-(A+B)]=(√2)/2
sin(A+B)=(√2)/2……………………………………(1)
另得：cosC=-(√2)/2，即：cos[180°-(A+B)]=-(√2)/2
cos(A+B)]=(√2)/2……………………………………(2)
由(2)，有：cosAcosB-sinAsinB=(√2)/2
已知：cosAcosB=(3√2)/5…………………………(3)
有：(3√2)/5-sinAsinB=(√2)/2
得：sinAsinB=(√2)/10………………………………(4)
又已知：[cos(α+A)cos(α+B)]/cos²α=(√2)/5
(cosαcosA-sinαsinA)(cosαcosB-sinαsinB)/cos²α=(√2)/5
cos²αcosAcosB+sin²αsinAsinB-sinαcosαsinAcosB-sinαcosαcosAsinB=(√2)/5
将(3)、(4)代入，有：
cos²α(3√2)/5+sin²α(√2)/10-sinαcosα(sinAcosB+cosAsinB)=(√2)/5
cos²α(3√2)/5+sin²α(√2)/10-sinαcosαsin(A+B)=(√2)/5
将(1)代入，有：
cos²α(3√2)/5+sin²α(√2)/10-sinαcosα(√2)/2=(√2)/5
6cos²α+sin²α-5sinαcosα=2
5cos²α+(cos²α+sin²α)-5sinαcosα=2
cos²α-sinαcosα=1/5
cos²α(1-tanα)=1/5………………(5)
又：
tanα=sinα/cosα……………………(6)
cos²α+sin²α=1……………………(7)
由(6)得：sin²α=tan²αcos²α
将(7)代入上式，有：
1-cos²α=tan²αcos²α
(tan²α+1)cos²α=1
cos²α=1/(tan²α+1)
代入(5)，有：
(1-tanα)/(tan²α+1)=1/5
5-5tanα=tan²α+1
tan²α+5tanα-4=0
有：tanα=(-5±√41)/2
即：tan(α1)=(-5+√41)/2、tan(α2)=-(5+√41)/2

Answer 2

1
∵c＾2＝a＾2＋b＾2－2abCosC＝a＾2＋b＾2＋√2ab
∴CosC＝－√2/2
　∠C＝135°
2．
∵Cos（A＋B）＝Cos（180°－C）＝－CosC＝√2/2
∴Sin（A＋B）＝√2/2　　（A＋B＝45°）
∵CosACosB＝Cos（A＋B）/2＋Cos（A－B）/2＝3√2／5
∴Cos（A－B）＝（7√2）／10
∵Cos（α＋A）Cos（α＋B）
　＝Cos（2α＋A＋B）＋Cos（A－B）
　＝Cos2αCos（A＋B）－Sin2αSin（A＋B）＋Cos（A－B）
∴3Cos2α－5Sin2α＋5＝0
∵3（Cosα）＾2－3（Sinα）＾2－10SinαCosα＋5（Cosα）＾2＋5（Sinα）＾2
　＝2（Sinα）＾2－10SinαCosα＋8（Cosα）＾2
　＝（2Sinα－8Cosα）（Sinα－Cosα）＝0
∴Tanα1＝4　　Tanα2＝1