Question

数列an满足an+1=根号(an^2+1)+an,a1=a>0,求an通项公式

Answer 1

a（n+1）=√（an²+1）+an
a（n+1）-an=√（an²+1）
（a（n+1）-an）²=an²+1
a（n+1）²-2ana（n+1）-1=0①
a（n-1）²-2ana（n-1）-1=0②
由①②得a（n+1）、a（n-1）为方程x²-2anx-1=0的根。
根据韦达定理有a（n+1）+a（n-1）=2an，显然，an等差。（也可用①-②得出）
a1=a，a2=√（a²+1）+a，故d=a2-a1=√（a²+1）。
从而an=a1+（n-1）d=√（a²+1）n+a-√（a²+1）。
综上，数列an的通项公式为an=√(a²+1)n+a-√(a²+1).

Answer 2

由已知an+1=根号(an^2+1)+an,a1=a>0，所以两边同时平方得an+1的平方=an的平方+1，即an+1的平方-an的平方=1，所以{an的平方}为等差数列，公差为1，首项为a1的平方=a的平方，根据等差数列的通项公式有an的平方=a的平方+（n-1）*1,所以an=根号下（a的平方+n-1）