Question

求1²+2²+3²+...+n²

Answer 1

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.....
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
或
数学归纳法
　　1、N=1时，1=1（1+1）（2×1+1）/6=1
　　2、N=2时，1+4=2（2+1）（2×2+1）/6=5
　　3、设N=x时，公式成立，即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6
　　则当N=x+1时，
　　1+4+9+…+x2+（x+1）2=x(x+1)(2x+1)/6+（x+1）2
　　=（x+1）[2（x2）+x+6（x+1）]/6
　　=（x+1）[2（x2）+7x+6]/6
　　=（x+1）（2x+3）（x+2）/6
　　=（x+1）[（x+1）+1][2（x+1）+1]/6
　　也满足公式
　　4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。

追问

请问还有其他解法吗

追答

另外一个很好玩的做法

想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

1²+2²+3²+...+n²
=1/6n*(n+1)(2n+1)

追问

有除上面那位两种之外的解答过程吗

Answer 3

这有公式啊