定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),
已知定义在R上的偶函数f(x)满足条件:f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上市增函数…其中正确的命题序号是①f(x)是周期函数②f(x)的图像关于直线x=1对称③...
已知定义在R上的偶函数f(x)满足条件:f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上市增函数…其中正确的命题序号是①f(x)是周期函数
②f(x)的图像关于直线x=1对称
③f(x)在[0,1]上是增函数
④f(x)在[1,2]是减函数
⑤f(2)=f(0)
其中正确的命题序号是
希望能给我解释一下每项为什么对为什么错,谢谢 展开
②f(x)的图像关于直线x=1对称
③f(x)在[0,1]上是增函数
④f(x)在[1,2]是减函数
⑤f(2)=f(0)
其中正确的命题序号是
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①正确:因为f(x+1)=-f(x),所以f(x)=-f(x-1),所以f(x+1)=f(x-1),变量整体(x+1)与(x-1)
相关2而函数值相等,所以是以2为周期的函数。
②正确:因为f(x)是偶函数,所以f(x+1)=f(-x-1),又因为周期为2,所以f(-x-1)=f(-x+1),
所以f(x+1)=f(-x+1),所以f(x)的图象关于x=1对称。
③错误:偶函数在其对称区间内的单调性是相反的,在[-1,0]是增函数,对称区间[0,1]上是减函数。
④错误:因为函数的周期是2,在[-1,0]是增函数,加一个周期刚好是[1,2],所以在[1,2]上是增函数。
⑤正确:甚为函数的周期是2。
相关2而函数值相等,所以是以2为周期的函数。
②正确:因为f(x)是偶函数,所以f(x+1)=f(-x-1),又因为周期为2,所以f(-x-1)=f(-x+1),
所以f(x+1)=f(-x+1),所以f(x)的图象关于x=1对称。
③错误:偶函数在其对称区间内的单调性是相反的,在[-1,0]是增函数,对称区间[0,1]上是减函数。
④错误:因为函数的周期是2,在[-1,0]是增函数,加一个周期刚好是[1,2],所以在[1,2]上是增函数。
⑤正确:甚为函数的周期是2。
追问
所以f(x+1)=f(-x+1),所以f(x)的图象关于x=1对称。
为什么?
追答
设f(x+1)=f(-x+1)=y,则f(x)的图象过点A(x+1,y)和点B(-x+1,y),设它们的中点为C,
则点C的坐标为(1,y),这说明点C的横坐标恒为1,即点C的轨迹为直线x=1,
而点A和B具有任意性,所以函数的图象关于x=1对称。
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