Question

已知fx=x²+|2x-4|+a

当a=﹣3时，求不等式fx＞x²+|x|的解集
若不等式fx≥0的解集为实数集R，求实数a的取值范围

Answer 1

(1) 当a=﹣3时，f(x)=x²+|2x-4|-3,
所以，x²+|2x-4|-3＞x²+|x|

即 |2x-4|＞|x|+3 ....................①
因为 |2x-4|≥0 ， |x|+3＞0 ，
将①两边平方整理得： 3x²-16x-6|x|+7＞0.....②
当 x≧0 时，②整理为 3x²-22x+7＞0， 得 0≦x＜1/3 或 x＞7
当 x＜0 时, ②整理为 3x²-10x+7＞0， 得 x＜0,
所以，当a=﹣3时，不等式f(x)＞x²+|x|的解集为(-∞,1/3)∪(7,+∞).
(2)当x≧2 时，f(x)=x²+2x-4+a=(x+1)²+a-5,
在[2,+∞)单调增，所以只需 f(2)≧0 即 (2+1)²+a-5≧0，
解得 a≧-4
当x＜2 时，f(x)=x²-2x+4+a=(x-1)²+a+3，
在(-∞,1)单调减，在(1,2)单调增，所以只需 f(1)≧0 即 a+3≧0，
解得 a≧-3
综上，a的取值范围为 [-3,+∞)

Answer 2

1
x²+|2x-4|-3>x²+|x|
|2x-4|-3>|x|
x>=2时，2x-7>x，x>7
0<=x<7时，1-2x>x，x<1/3，0<=x<1/3
x<0时，1-2x>-x，x<1，x<0
故x<1/3 or x>7
2
x>=2时
f(x)=x²+2x-4+a=(x+1)²+a-5
f(x)min=9+a-5>=0，a>=-4
x<=2时
f(x)=x²-2x+4+a=(x-1)²+3+a
f(x)min=a+3>=0，a>=-3
故a>=-3