Question

试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同

解：设该四位数为1000a+100a+10b+b，则
1000a+100a+10b+b=1100a+11b =11（100a+b）
故1，又因为(a+b)≤18
所以a+b=11，
带入上式得 四位数=11×（a×100+（11－a）） =11×（a×99+11） =11×11×（9a+1)
故9a+1必须为完全平方数。 由a=2、3、4、5、6、7、8、9验证得， 9a+1=19、28、27、46、55、64、73。 所以只有a=7一个解；此时b=4。 因此四位数是7744=112×82=88×88。

为什么100a+b被11整除，就等价于a+b被11整除？ 怎么推出来的？

Answer 1

1000a+100a+10b+b=11（100a+b）是完全平方数，
∴100a+b中有因数11，
而100a+b=99a+(a+b)=11×9a+(a+b)
∴a+b一定是11的位数。

Answer 2

100a+b=99a+a+b,因为99a被11整除了，所以a+b必须被11整除