已知定义在R上的奇函数fx满足f(x+2)=f(x),则f(2010)的值为
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解：∵ f（x）是定义在 R 上的奇函数
∴ f（0）= 0
∴ f（2）= f（0 + 2）= f（0）= 0
f（4）= f（2 + 2）= f（2）= 0
f（6）= f（4 + 2）= f（4）= 0
……
……
∴ f（2012）= f（2010 + 2）
= f（2010）
= f（2008 + 2）
= f（2008）
……
= f（6 + 2）
= f（6）
= 0
∴ f（0）= 0
∴ f（2）= f（0 + 2）= f（0）= 0
f（4）= f（2 + 2）= f（2）= 0
f（6）= f（4 + 2）= f（4）= 0
……
……
∴ f（2012）= f（2010 + 2）
= f（2010）
= f（2008 + 2）
= f（2008）
……
= f（6 + 2）
= f（6）
= 0
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2013-08-14 · 知道合伙人教育行家
wangcai3882
知道合伙人教育行家
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本人擅长中学阶段数、理、化、生等理科知识，尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖，期望能为你答疑
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解：
∵定义在R上的奇函数fx
∴f(0)=0
∵f(x+2)=f(x)
∴f(2010)=f(2008)=……=f(2)=f(0)=0
∵定义在R上的奇函数fx
∴f(0)=0
∵f(x+2)=f(x)
∴f(2010)=f(2008)=……=f(2)=f(0)=0
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分析：定义在R上的奇函数必有f(0)=0.
因为f(x+2)=f(x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，
所以f(2010)=f(1005×2+0)=f(0)=0.
因为f(x+2)=f(x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，
所以f(2010)=f(1005×2+0)=f(0)=0.
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∵f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期函数，且周期为2，由此可见f(2010)=f(0)
又f(x)在R上是奇函数，∴f(-0)= -f(0)，即f(0)=0,∴f(2010)=0
又f(x)在R上是奇函数，∴f(-0)= -f(0)，即f(0)=0,∴f(2010)=0
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