设a、b、c、d为正有理数，根号c，根号d是无理数，求证：a根号c+b根号d是无理数
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2013-08-15 · 知道合伙人教育行家
无脚鸟╰(⇀‸↼)╯
知道合伙人教育行家
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现在为上海海事大学学生，在学习上有一定的经验，擅长数学。
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反证法：
假设a√c+b√d=e是个有理数
那么：a√c=e-b√d
两边平方：(a^2)c=e^2-2eb√d+(b^2)d
即：e^2+(b^2)d-(a^2)c=2eb√d
2eb√d这一项必定是无理数，否则若2eb√d=f为有理数
f/2eb=√d ，有理数=无理数 矛盾！
而e^2+(b^2)d-(a^2)c显然是有理数，
也得到：
有理数=e^2+(b^2)d-(a^2)c=2eb√d=无理数
矛盾！
假设不成立。
∴a√c+b√d必然是一个无理数
假设a√c+b√d=e是个有理数
那么：a√c=e-b√d
两边平方：(a^2)c=e^2-2eb√d+(b^2)d
即：e^2+(b^2)d-(a^2)c=2eb√d
2eb√d这一项必定是无理数，否则若2eb√d=f为有理数
f/2eb=√d ，有理数=无理数 矛盾！
而e^2+(b^2)d-(a^2)c显然是有理数，
也得到：
有理数=e^2+(b^2)d-(a^2)c=2eb√d=无理数
矛盾！
假设不成立。
∴a√c+b√d必然是一个无理数
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