Question

在数列an中，a1=1,a(n+1）=（1+1/n)an+（n+1)/2^n

在数列an中，a1=1,a(n+1）=（1+1/n)an+（n+1)/2^n
（I）设bn=an/n，求数列bn的通项公式
（II）求数列an的前项和

Answer 1

 

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Answer 2

(1)
a(n+1）=（1+1/n)an+(n+1)/2^n
na(n+1) = (n+1)an + n(n+1)/2^n
a(n+1)/(n+1) -an/n = 1/2^(n)
an/n - a(n-1)/(n-1) = 1/2^(n-1)
an/n - a1/1 = 1/2^1+1/2^2+...+1/2^(n-1)
an = 1/2^0+1/2^1+1/2^2+...+1/2^(n-1)
= 2[1- 2^(-n)]
bn = an/n = 2(1 -2^(-n))/n

(2)
an = 2[1- 2^(-n)]
Sn =a1+a2+...+an
= 2[n + (1- 2^(-n))]
= 2[(n+1) - 2^(-n)]