Question

已知A B C是三角形ABC的三个内角，向量M=（-1，根号3），向量N=（cosA,sinA),且向量M*向量N=1

求A， 若(1+sin2B)/cos^2B-sin^2B=-3,求tanB

Answer 1

m·n=(-1,√3)·(cosA,sinA)
=√3sinA-cosA
=2sin(A-π/6)=1
即：sin(A-π/6)=1/2
A是内角，故：A∈(0,π)
即：A-π/6∈(-π/6,5π/6)
故：A-π/6=π/6
即：A=π/3
(1+sin(2B))/(cosB^2-sinB^2)
=(sinB+cosB)^2/((cosB+sinB)(cosB-sinB))
=(sinB+cosB)/(cosB-sinB)
=(tanB+1)/(1-tanB)=-3
即：tanB+1=-3+3tanB
即：tanB=2

Answer 2

解：向量M.向量N=-cosA+√3sinA.
M.N=2[(√3/2)sinA-(1/2)cosA].
=2[sinAcos(π/6)-cosAsin(π/6)].
=2sin(A-π/6).
∵M.N=1,∴2sin(A-π/6)=1.
sin(A-π/6)=1/2.
A-π/6=π/6, A=π/3；
或，A-π/6=5π/6, A=π (此解不符合题设要求，舍去）。
∴ A=π/3.

若(1+sin2B)/(cos^2B-sin^2B)=-3, ... (是这样的吧)?!
若是，则 (sin^2B+2sinBcosB+cos^2))/(cos^2B-sin^2B).=-3.
(sinB+cosB)^2/[cosB+sinB)(cosB-sinB)]=-3,
∵sinB+cosB≠0,
∴ (sinB+cosB)/(cosB-sinB).=-3.
分子，分母各项同乘以cosB,得：
(tanB+1)/(1-tanB)=-3,
tanB+1=(-3)(1-tanB).
3tanB-tanB=1+3,
2tanB=4,
∴tanB=2.