Question

设数列｛a｝的前n项和为Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n次方

设数列an的前n项和为Sn，已知A1=a, An+1=Sn+3的n 次方,n 属于正整数。设bn= Sn-3的n次方，求数列bn的通项公式，若An+1大于等于an,n 属于正整数，求a的取值范围

Answer 1

1:a(n+1)=S(n+1)-Sn ，得S(n+1)-Sn=Sn+3^n ，所以S(n+1)=2Sn+3^n ，有S(n+1)-3*3^n=2Sn-2*3^n， 所以S(n+1)-3^(n+1)=2(Sn-3^n) 得b(n+1)=2bn
又因S1=a1=a,b1=a-3 ，得bn为以a-3为首项，2为公比的等比数列 所以bn=(a-3)*2^(n-1)

2:a(n+1)=Sn+3^n=bn+2*3^n
a(n+1)-an
=bn+2*3^n-[b(n-1)+2*3^(n-1)]
=bn-b(n-1)+2[3^n-3^(n-1)]
=(a-3)*[2^(n-1)-2^(n-2)]+2[3^n-3^(n-1)]
=(a-3)*2^(n-2)+4*3^(n-1)>=0
a-3>=-4*3^(n-1)/2^(n-2)
=-12*(3/2)^(n-2)
a>=3-12*(3/2)^(n-2)
因为n-1>=1，所以n最小为2
(3/2)^(n-2)最小=(3/2)^(2-2)=1
3-12*(3/2)^(n-2)最大=3-12*1=-9
a>=-9