Question

高中数学题：设实数集S是满足下面条件的集合①1∈S，②若a∈S，则（1-a）/1

⑴.求证：若a∈S，则1-a/1∈S
⑵.求证：集合S中至少有3个不同的元素

Answer 1

怎证明：
由题设：当a∈S时，必有：1/(1-a)∈S.
∴当t∈S时，必有：1/(1-t)∈S.

由a∈S，可知此时：1/(1-a)∈S
取t=1/(1-a).则：1/(1-t)=1/{1-[1/(1-a)]}∈S
整理1/{1-[1/(1-a)]}=(1-a)/(-a)=1-(1/a)∈S
也可以这样证：
假设x ，使得1/1-x=1-1/a，
则解得 x=1/1-a，
由a∈S，则x=1/1-a∈S，有，1/1-x∈S，即1-1/a∈S
第二问至少有空集，a，1/[1—a]，。所以至少有3个子集

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Answer 2

(1) a∈s, 则1/(1-a)∈s , 于是 1/[1-1/(1-a)]=1-1/a∈s
(2) 2∈s, 1/(1-2)=-1∈s, 1/[1-(-1)]=1/2∈s, 即至少还有-1，和1/2 两个数。
(3) 结论不正确，因为S可以是空集，正确表述应该加个条件S不空，下面假设s不空，
即有一个元素a∈s，由（1）知1/(1-a)和1-1/a也∈S，如果能证明这三个数不同，也就证明了(3)
如果 a=1/(1-a) ，则 a^2-a+1=0, 这个方程无解，所以a与1/(1-a)不同
如果 a=1-1/a, 则a^2-a+1=0, 这个方程无解，所以a与1-1/a不同
如果 1/(1-a)=1-1/a，则a^2-a+1=0, 这个方程无解，所以1/(1-a)与1-1/a不同
这就证明了a, 1/(1-a), 1-1/a 三个数互不相同。
望采纳

Answer 3

这个貌似有点难度