Question

已知Sn为数列{an}的前n项和,a=(Sn,1),b=(-1,2an+2^n+1),a⊥b

求证an/2n为等差数列
若bn=（（n-2011)/（n+1)）*an，是否存在n0，对于任意k，不等式bk《bn0都成立

Answer 1

第一问应该是要求an/2^n为等差吧。（所有加深的部分是下标）(1).因为a⊥b，所以ab=-Sn+2an+2^n+1=0,所以Sn=2an+2^n+1,则Sn-1=2an-1+2^（n-1）+1则有Sn-Sn-1=an=2an-2an-1+2^（n-1），整理得an=2an-1-2^(n-1),两边同时除以2^n，于是有an/2^n=an-1/2^(n-1)-1/2,所以an/2^n-an-1/2^(n-1)=-1/2,故｛an/2^n｝是等差数列，公差是-1/2(2). 由Sn=2an+2^n+1，令n=1，可以求出a1=-3，所以an/2^n=-1-n/2,则an=-（1+n/2）*2^n,于是易得bn=-（（n-2011)/（n+1)）*（1+n/2）*2^n.易知题目的意思是要求｛bn｝的最大值bn0。观察bn，知n>=2011时，bn<=0;n<2011时，bn>0.故，以下的解答过程只需在n<2011范围内讨论即可。易得bn+1=-（（n-2010)/（n+2)）*（1+（n+1）/2）*2^（n+1），考虑且化简得bn+1/bn=[2(n-2010)(n+3)(n+1)]/[(n-2011)(n+2)(n+2)],比较分母和分子有：（在n<2011范围内）n-2010>n-2011,n+3>n+2,2(n+1)=n+n+2>n+2,所以当n<2010时，bn+1/bn>1（注：n<2010时，bn>0）则在n<2010时，有b2009是最大值。故只需要比较b2009与b2010的大小即可。b2009=(2011/2010)*2^2009, b2010=(2012/2011)*2^2009,因为2011/2010>2012/2011,所以b2009>b2010,于是有存在n0=2009，使得对于任给的k，均有bk<=bn0。得证!呵呵，原来是一道年份题啊！