Question

若干名战士排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么原有战士多少

若干名战士排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么原有战士多少人?

Answer 1

若干名战士排成8列长方形的队列，所以原来的战士数是8的倍数
设原来数量为8k(k为正整数）
增加120人减少120人都能组成新的正方形队列
说明8k+120或者8k-120都是平方数
所以设8k+120=m²①
8k-120=n²②
①-②=240=m²-n²
(m+n)(m-n)=240
m,n均为正整数
把240分解质因数
240=2×2×2×2×3×5
那么我们就来组合吧
m+n和m-n要么同为奇数，要么同为偶数
（因为如果一奇一偶，两式加起来就是奇数，2m=奇数，那m肯定不是正整数解）
所以(2^4)[2的4次方]×(3×5)和(2^4×3)×5肯定都是不行的
先试第一组，240=8×30
那么m+n=30,m-n=8
m=19,n=11
这个没有问题
那么第二组，240=4×60
解得，m=32,n=28
这个也可以
第三组，240=2×120
解得，m=61,n=59
那也就这么多了，带回前面验证
比如第一组，m=19,n=11的情况下
战士数=19²-120=241这就不是8的倍数，所以不行
第二组，m=32,n=28的情况下，
战士数=904，这是8的倍数，所以可以
第三组，m=61,n=59的情况下
战士数=3601，不是8的倍数，所以不行
所以战士数只能是第二组的情况=904
答：原有战士904人。

Answer 2

原有战士904人