线性微分方程解的叠加原理的概念是什么？？
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问得好！
我们在学数学、物理时，经常遇到《叠加原理》，一般的学生，都是想当然地
认为他们懂了，《叠加原理》就是叠加的原理，就是加起来的原理，似懂非懂、
望文生义的自我解释、自我宽慰一下，就以为万事大吉了。
事实上楼主问的这个问题，好好展开，其实就是一篇很好的论文，下面试着提
供几方面的解释。
1、《叠加原理》的英文原意。
在英文的superposition，我们翻译成《叠加原理》，大错没有，但是并不贴切，
不过我们也没有办法，因为汉语中无法找到更合适的词语准确对译。英语中的
superposition确实含有《叠加原理》的意思，很多情况下，《叠加原理》四个
字也确确实实是准确无误。但是英文中除了《叠加原理》的意思之外，还有好
多隐含的意思，position是位置，superposition，是一个特殊的位置，特殊的
点。
在我们平时的数学书上，在讲解微分时，英文比中文更加大大咧咧，他们一贯
喜欢用change=变化，而不喜欢用increasement=增量，譬如用链式求导计算
时，英文的说法无一例外地全是rate of change with respect to......至多是the
related rate of change with respect to......，给初学者带来了很多误导。又如
在讲kinematics=运动学时，英文也是比中文眼高手低，不太喜欢将速度矢量
跟position vector=位置矢量相连，反而喜欢跟displacement vector=位移矢量
相扣，结果也是误导迭起，鬼子在这方面我行我素、麻木不仁。我们的教学中
做了适当的调整，但是我们也有着我们自己许许多多的系统误导、偏差，写上
几本厚厚的天书，也是挂一漏万个，不在这里讨论。
上面说到的displacement一词，虽然英文中常与position混用，但superposition
一词却是英文中能够正本清源的概念，它涉及几个方面的概念：一特殊点、特
殊的位置；二是特殊位置上的物理量的描述，包括位相、位相差、频率、周期、
时间、振幅、偏振(polarization)、振动的能量、波动的能量、波速等等一堆的
概念；三是这些概念的一整套数学计算方法，合称为principle of superposition
=叠加原理。
2、《叠加原理》的物理含意。
《叠加原理》的实质是指自然界的很多现象，我们采取的方法是一一单个考虑，
然后将所有因素综合考虑时，它们的结果，可能是：
A、它们各自的单独结果相加得到最后的结果；
B、过程的叠加，而不是结果的叠加。
关于《叠加原理》，《百度百科》是这么说的：
对任何线性系统“在给定地点与时间，由两个或多个刺激产生的合成反应是由每
个刺激单独产生的反应之和。
http://baike.baidu.com/view/909044.htm
《维基中文百科》也是这么说的：
对任何线性系统“在给定地点与时间，由两个或多个刺激产生的合成反应是由每
个刺激单独产生的反应之和。”
http://zh.wikipedia.org/wiki/态叠加原理
《维基英文》是这么说的：
for all linear systems, the net response at a given place and time caused by
two or more stimuli is the sum of the responses which would have been caused
by each stimulus individually.
http://en.wikipedia.org/wiki/Superposition_principle
明显地，是维基中文翻译的维基英文，百度百科完全抄袭了维基中文。无可奈何，
这就是我们的学术文化，我们的学术传统，大家写论文、编百科、写书，永远是
“抄来抄去”，美曰“传播知识、传播真理”。
上面的说法，包括我自己的说法，错吗？没有！完全对吗？没有！
为了说清楚《叠加原理》的实质，也为了说清楚上面的说法都不完全正确，下面
先举一些实际的运用到《叠加原理》的例子。
例一：万有引力
太阳吸引地球，地球也吸引太阳；
太阳吸引月亮，月亮也吸引太阳；
地球吸引月亮，月亮也吸引地球。
太阳受到的总吸引力有多大？
地球受到的总吸引力有多大？
月亮受到的总吸引力有多大？
这种问题，任何学生都会脱口而出：分别计算，然后矢量叠加。
这就是《叠加原理》。
因为我们只有能力解决两体问题，没有能力解决三体问题，更无能力解决多体问题，
遇到多体问题怎么办？我们就两两计算，然后根据题意，或者代数相加，或者矢量
相加。
在本例中，这样的做法是对的。
例二：
在空中A、B、C三点，分别有三个点电荷，在空中第四点D处的电场强度、电势
分别是多少？
分析方法与上面相同，计算总电场强度是矢量相加，电势是标量相加。
这也是《叠加原理》，这样的做法也是对的。
例三：
一束光从A点发出，令一束光从B点发出，同时到达C点。
在C点测得A光的强度是E₁，测得B光的强度是E₂，
因为能量是标量，那么同时测得光的总能量就是E₁＋E₂。
对吗？似乎是对的，普通学生没有学过干涉、衍射时，一定认为是对的。
但是当他们学过了干涉、衍射时，他们一定是说错，可是又错在何处呢？
他们个个都会穿凿附会，就是无法回答，能量为何突然暴增或突然消失。
他们的解答无非是有干涉相长＝constructive和干涉相消＝
distructive。
那为什么单独测量，各自都有能量，两束光同时到达的一刹那为什么可能
会突然没有能量？霎那间能量为什么会重新分部？
波动力学似乎解决了这个问题，其实只是回避了这个问题，并不能解释这
一现象。
3、数学运算的特色。
在物理、化学、天文、水文、地质、气象、电机、、、、中，有举不胜举
的《叠加原理》的例子。有各式各样的叠加，计算方法，有代数的加减，
有矢量的加减，有离散求和的，有连续积分的。
积分，任何理工科大学生都学过。从物理的角度来看，积分可以分成两种，
一种是广延量＝extensity的叠加，另一种是强度量＝intensity
的叠加。我们平时笼而统之地都统称为《叠加原理》，而后一种强度量的
叠加才是superposition，才是真正的《叠加原理》。
我们在热力学中，既要学平均速率，又要学均方根速率，为何？这里与上
面的干涉相长相消是同一性质的问题，也就是说叠加是有限制的，这些限
制在物理上还没有完美的解释，在数学上找到了一个法宝，那就是“线性”
二字。linearity，英文维基的解释是：
In mathematics, a linear function f(x) is a function which satisfies the
following two properties:
(1) Additivity (also called the superposition property): f(x + y) = f(x) + f(y).
(2) Homogeneity of degree 1: f(αx) = αf(x) for all α.
It can be shown that additivity implies the homogeneity in all cases where
α is rational；this is done by proving the case where α is a natural number
by mathematical induction and then extending the result to arbitrary rational
numbers.
If f is assumed to be continuous as well then this can be extended to show
that homogeneity for α any real number, using the fact that rationals form
a dense subset of the reals.
In this definition, x is not necessarily a real number, but can in general be a
member of any vector space. A more specific definition of linear function,
not coinciding with the definition of linear map, is used in elementary mathematics.
The concept of linearity can be extended to linear operators.
Important examples of linear operators include the derivative considered as
a differential operator, and many constructed from it, such as del and the
Laplacian.
When a differential equation can be expressed in linear form, it is particularly
easy to solve by breaking the equation up into smaller pieces, solving each of
those pieces, and summing the solutions.
Linear algebra is the branch of mathematics concerned with the study of vectors,
vector spaces (also called linear spaces), linear transformations (also called
linear maps), and systems of linear equations.
所以，我们可以归纳起来：
1、线性，既指函数的线性，又指运算关系的线性；
2、线性的本质就是superposition，也就是《叠加原理》；
结合我们上面的讨论，我们可加进第三点，
3、叠加是有选择性的叠加，也就是不同的物理量的叠加有具体方法的限制。
线性微分方程的叠加：
1、线性微分方程的叠加原理，源于物理机制的叠加；
2、对于齐次微分方程，由于Operator的齐次特点，不同的解的叠加，
依然是解，波函数的叠加就是最典型的实例；
3、对于非齐次，所有齐次解的叠加，再叠加非齐次的解，仍然是解；
4、线性无关，就是所有的解是独立的，也就是没有一个解是可以通过其他解
的组合而得到。在物理上这是有互相独立的状态。
线性一词的本身就是指，函数与函数之间只有加减关系，没有任何复合关系；
算符与算符之间，同样只是简单的加减关系，没有任何的其他复合关系。这既
是物理现象要求所致，同时又决定了解的性质：所有的解与解之间只是简单的
加减性质的关系，没有任何复合关系。
我们在学数学、物理时，经常遇到《叠加原理》，一般的学生，都是想当然地
认为他们懂了，《叠加原理》就是叠加的原理，就是加起来的原理，似懂非懂、
望文生义的自我解释、自我宽慰一下，就以为万事大吉了。
事实上楼主问的这个问题，好好展开，其实就是一篇很好的论文，下面试着提
供几方面的解释。
1、《叠加原理》的英文原意。
在英文的superposition，我们翻译成《叠加原理》，大错没有，但是并不贴切，
不过我们也没有办法，因为汉语中无法找到更合适的词语准确对译。英语中的
superposition确实含有《叠加原理》的意思，很多情况下，《叠加原理》四个
字也确确实实是准确无误。但是英文中除了《叠加原理》的意思之外，还有好
多隐含的意思，position是位置，superposition，是一个特殊的位置，特殊的
点。
在我们平时的数学书上，在讲解微分时，英文比中文更加大大咧咧，他们一贯
喜欢用change=变化，而不喜欢用increasement=增量，譬如用链式求导计算
时，英文的说法无一例外地全是rate of change with respect to......至多是the
related rate of change with respect to......，给初学者带来了很多误导。又如
在讲kinematics=运动学时，英文也是比中文眼高手低，不太喜欢将速度矢量
跟position vector=位置矢量相连，反而喜欢跟displacement vector=位移矢量
相扣，结果也是误导迭起，鬼子在这方面我行我素、麻木不仁。我们的教学中
做了适当的调整，但是我们也有着我们自己许许多多的系统误导、偏差，写上
几本厚厚的天书，也是挂一漏万个，不在这里讨论。
上面说到的displacement一词，虽然英文中常与position混用，但superposition
一词却是英文中能够正本清源的概念，它涉及几个方面的概念：一特殊点、特
殊的位置；二是特殊位置上的物理量的描述，包括位相、位相差、频率、周期、
时间、振幅、偏振(polarization)、振动的能量、波动的能量、波速等等一堆的
概念；三是这些概念的一整套数学计算方法，合称为principle of superposition
=叠加原理。
2、《叠加原理》的物理含意。
《叠加原理》的实质是指自然界的很多现象，我们采取的方法是一一单个考虑，
然后将所有因素综合考虑时，它们的结果，可能是：
A、它们各自的单独结果相加得到最后的结果；
B、过程的叠加，而不是结果的叠加。
关于《叠加原理》，《百度百科》是这么说的：
对任何线性系统“在给定地点与时间，由两个或多个刺激产生的合成反应是由每
个刺激单独产生的反应之和。
http://baike.baidu.com/view/909044.htm
《维基中文百科》也是这么说的：
对任何线性系统“在给定地点与时间，由两个或多个刺激产生的合成反应是由每
个刺激单独产生的反应之和。”
http://zh.wikipedia.org/wiki/态叠加原理
《维基英文》是这么说的：
for all linear systems, the net response at a given place and time caused by
two or more stimuli is the sum of the responses which would have been caused
by each stimulus individually.
http://en.wikipedia.org/wiki/Superposition_principle
明显地，是维基中文翻译的维基英文，百度百科完全抄袭了维基中文。无可奈何，
这就是我们的学术文化，我们的学术传统，大家写论文、编百科、写书，永远是
“抄来抄去”，美曰“传播知识、传播真理”。
上面的说法，包括我自己的说法，错吗？没有！完全对吗？没有！
为了说清楚《叠加原理》的实质，也为了说清楚上面的说法都不完全正确，下面
先举一些实际的运用到《叠加原理》的例子。
例一：万有引力
太阳吸引地球，地球也吸引太阳；
太阳吸引月亮，月亮也吸引太阳；
地球吸引月亮，月亮也吸引地球。
太阳受到的总吸引力有多大？
地球受到的总吸引力有多大？
月亮受到的总吸引力有多大？
这种问题，任何学生都会脱口而出：分别计算，然后矢量叠加。
这就是《叠加原理》。
因为我们只有能力解决两体问题，没有能力解决三体问题，更无能力解决多体问题，
遇到多体问题怎么办？我们就两两计算，然后根据题意，或者代数相加，或者矢量
相加。
在本例中，这样的做法是对的。
例二：
在空中A、B、C三点，分别有三个点电荷，在空中第四点D处的电场强度、电势
分别是多少？
分析方法与上面相同，计算总电场强度是矢量相加，电势是标量相加。
这也是《叠加原理》，这样的做法也是对的。
例三：
一束光从A点发出，令一束光从B点发出，同时到达C点。
在C点测得A光的强度是E₁，测得B光的强度是E₂，
因为能量是标量，那么同时测得光的总能量就是E₁＋E₂。
对吗？似乎是对的，普通学生没有学过干涉、衍射时，一定认为是对的。
但是当他们学过了干涉、衍射时，他们一定是说错，可是又错在何处呢？
他们个个都会穿凿附会，就是无法回答，能量为何突然暴增或突然消失。
他们的解答无非是有干涉相长＝constructive和干涉相消＝
distructive。
那为什么单独测量，各自都有能量，两束光同时到达的一刹那为什么可能
会突然没有能量？霎那间能量为什么会重新分部？
波动力学似乎解决了这个问题，其实只是回避了这个问题，并不能解释这
一现象。
3、数学运算的特色。
在物理、化学、天文、水文、地质、气象、电机、、、、中，有举不胜举
的《叠加原理》的例子。有各式各样的叠加，计算方法，有代数的加减，
有矢量的加减，有离散求和的，有连续积分的。
积分，任何理工科大学生都学过。从物理的角度来看，积分可以分成两种，
一种是广延量＝extensity的叠加，另一种是强度量＝intensity
的叠加。我们平时笼而统之地都统称为《叠加原理》，而后一种强度量的
叠加才是superposition，才是真正的《叠加原理》。
我们在热力学中，既要学平均速率，又要学均方根速率，为何？这里与上
面的干涉相长相消是同一性质的问题，也就是说叠加是有限制的，这些限
制在物理上还没有完美的解释，在数学上找到了一个法宝，那就是“线性”
二字。linearity，英文维基的解释是：
In mathematics, a linear function f(x) is a function which satisfies the
following two properties:
(1) Additivity (also called the superposition property): f(x + y) = f(x) + f(y).
(2) Homogeneity of degree 1: f(αx) = αf(x) for all α.
It can be shown that additivity implies the homogeneity in all cases where
α is rational；this is done by proving the case where α is a natural number
by mathematical induction and then extending the result to arbitrary rational
numbers.
If f is assumed to be continuous as well then this can be extended to show
that homogeneity for α any real number, using the fact that rationals form
a dense subset of the reals.
In this definition, x is not necessarily a real number, but can in general be a
member of any vector space. A more specific definition of linear function,
not coinciding with the definition of linear map, is used in elementary mathematics.
The concept of linearity can be extended to linear operators.
Important examples of linear operators include the derivative considered as
a differential operator, and many constructed from it, such as del and the
Laplacian.
When a differential equation can be expressed in linear form, it is particularly
easy to solve by breaking the equation up into smaller pieces, solving each of
those pieces, and summing the solutions.
Linear algebra is the branch of mathematics concerned with the study of vectors,
vector spaces (also called linear spaces), linear transformations (also called
linear maps), and systems of linear equations.
所以，我们可以归纳起来：
1、线性，既指函数的线性，又指运算关系的线性；
2、线性的本质就是superposition，也就是《叠加原理》；
结合我们上面的讨论，我们可加进第三点，
3、叠加是有选择性的叠加，也就是不同的物理量的叠加有具体方法的限制。
线性微分方程的叠加：
1、线性微分方程的叠加原理，源于物理机制的叠加；
2、对于齐次微分方程，由于Operator的齐次特点，不同的解的叠加，
依然是解，波函数的叠加就是最典型的实例；
3、对于非齐次，所有齐次解的叠加，再叠加非齐次的解，仍然是解；
4、线性无关，就是所有的解是独立的，也就是没有一个解是可以通过其他解
的组合而得到。在物理上这是有互相独立的状态。
线性一词的本身就是指，函数与函数之间只有加减关系，没有任何复合关系；
算符与算符之间，同样只是简单的加减关系，没有任何的其他复合关系。这既
是物理现象要求所致，同时又决定了解的性质：所有的解与解之间只是简单的
加减性质的关系，没有任何复合关系。
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我了个大去，这只是问微分方程的解的叠加性，有必要回答那么长么。。如果A和B是方程的解，那么A+B也是方程的解，齐次线性微分方程都有这个性质，就这么简单。
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追问
在一阶的作用下能成立么，如y'+P(x)y=0,y1(x),y2(x)是方程的两个解。那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是解能成立么？
追答
能够成立，只是y1(x),y2(x)一定是线性相关的
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