Question

求证：a,b是正整数，2a^2+a=3b^2+b，则a-b和2a+2b+1都是完全平方数。

Answer 1

首先(2a+2b+1)(a-b)=2a²+a-(2b²+b)=b²，(3a+3b+1)(a-b)=3a²+a-(3b²+b)=a²。设2a+2b+1与3a+3b+1的最大公因数为c，则c能整除3a+3b+1-(2a+2b+1)=a+b，那么c能整除2（a+b），从而
c能整除2a+2b+1-2（a+b）=1，所以c=1。假设a-b不是平方数，则必存在质数p，使得p在a-b的因数分解中次数为奇数，则p能整除2a+2b+1，否则(2a+2b+1)(a-b)=b²不为平方数，同理p也能整除3a+3b+1，这与2a+2b+1与3a+3b+1互素矛盾，故假设不成立，a-b是完全平方数，那么
2a+2b+1=b²/(a-b)也为平方数。

追问

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