Question

不定积分第一换元法题解答有一步看不懂,请指教

题目中有这样一步，我看不懂，我一直理解dx就是x的微分，是Δx趋近于无穷小的值。
也就是说dx是一个整体，表示无穷小的Δx，不是d和x的乘积。
可是这道题有这样一步变换，我就不太理解了，为什么可以这样算？
谢谢
dx中的x可以是一个函数，即将φ(t)作为一个整体X。这个我能理解。
这道题我也能做出来，我是一步一步算的，没有从dφ(x)的φ(x)中直接提取一个a出来。

我的问题是，为什么此题的解答可以从dφ(x)的φ(x)中直接提取出来一个a放到前面？原话是“因为为了凑微分，d后的φ(x)变成φ(x)/a，所以给前面乘a”。这是仅仅是做题总结出来的一般规律还是什么标准的运算法则？是不是有类似∫Af(x)dx=A∫f(x)dx这样的运算法则？

Answer 1

　　在积分∫f(x)dx中，∫为积分号、f(x)为被积函数、d为微分符号、x微积分变量，你对“dx就是x的微分，是Δx趋近于无穷小的值”的理解没错，dx=Δx，即自变量的微分等于自变量的增量，这个教材中都有证明，当然，函数的微分=函数的导数乘以自变量的微分即dφ(t)=φ'(t)dt。
　　但这里积分变量x不一定非要是最终变量，它也可以是中间变量。如x=φ(t)，x为t的函数。此时并不影响∫f(x)dx=F(x)+C的结果，这里F(x)为f(x)的原函数。
　　上述积分中，如果x为中间变量，则∫f(x)dx=∫f(φ(t))dφ(t)=∫f(φ(t))φ'(t)dt。也就是说，反过来，如果你要计算∫f(φ(t))φ'(t)dt，就要逆回去∫f(φ(t))φ'(t)dt=∫f(φ(t))dφ(t)=∫f(x)dx=F(x)+C=F(φ(t))+C，这也是第一换元积分法的原理。
　　你题目中的红色的问号，这一步称为”凑微分“，即微分的逆运算，欢迎追问，望采纳！

追问

谢谢你的回答，但是你可能没明白我的问题，追问有字数限制，我补充到原问题里面了。

追答

明白你的意思，只是不知道怎么回答，所以还不能让你理解，“凑微分”的妙处或者说所谓准则在于一个“凑”字，关键就是“凑”出什么样的“φ(x)”或者中间变量的问题，你的问题中需要的是“φ(x)/a”这样的一个“φ(x)”，只有“φ(x)/a”这样的一个“φ(x)”，才能“凑”成反正弦函数的基本积分公式。注意我回答中提到的φ(x)仅仅是一个根据“需要”凑出来的一个中间变量而已！另外，确实有类似∫Af(x)dx=A∫f(x)dx的积分运算法则，也有类似adx=d(ax)这样的微分运算法则，从而才会有dφ(x)=a·(1/a)dφ(x)=a·d[φ(x)/a]，教材中有证明，证明也简单不再赘叙。

Answer 2

a与x的函数表达式无关，故可提出

追问

请问这是标准的运算法则么？同济版的高数里面没有讲到关于有微分符号的表达式的运算，有时讲dx仅当作一个符号，有时又将dx作为数参与运算，我看着很糊涂。