Question

这个行列式如何解

有没有用Dn来表示结果的解法

Answer 1

一般情形: Dn =
a+b a 0 ... 0 0
b a+b a ... 0 0
0 b a+b ... 0 0
... ... ...
0 0 0 ... a+b a
0 0 0 ... b a+b
解: 按第1列展开
Dn=(a+b)D(n-1)-abD(n-2)
所以
Dn-aD(n-1)
= b(D(n-1)-aD(n-2))
= b^2(D(n-2)-aD(n-3))
= ...
= b^(n-2)(D2-aD1)
= b^(n-2)[(a+b)^2-ab - a(a+b)]
= b^(n-2)[a^2+ab+b^2-a^2-ab)]
= b^n.
即有 Dn = b^n+aD(n-1)
由于 Dn = Dn^T(转置行列式)
所以也有 Dn = a^n+bD(n-1)
当a≠b时, 两式消去Dn-1得 Dn = [a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)
当a=b时,
Dn
= a^n+aD(n-1) = a^n+a(a^(n-1)+aD(n-2))
= 2a^n+a^2D(n-2)
= ...
= (n-1)a^n+a^(n-1)D1
= (n+1)a^n.

追问

即有 Dn = b^n+aD(n-1)
由于 Dn = Dn^T(转置行列式)
所以也有 Dn = a^n+bD(n-1)
当a≠b时, 两式消去Dn-1得 Dn = [a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)

这一步没有看明白，如何消去Dn-1

追答

1式乘b,2式乘a, 相减

Answer 2

大体说一下思路：
对于Dn从第一行展开，可得Dn=[5D(n-1)]-3A，再对A从第一列展开，可得A=2D(n-2)
即Dn=[5D(n-1)]-[6D(n-2)](n≥3)。且D1=5,D2=19
以上条件构成了二阶常系数齐次线性差分方程的初值问题。
此差分方程的通解为Dn=C1*(2^n)+C2*(3^n),(C1,C2为任意常数）
带入初值条件：D1=5,D2=19，可得C1=-2,C2=3
故Dn=3^(n+1)-2^(n+1)(n≥1)