Question

关于积分上限的函数此题怎么解

Answer 1

令u=x-t，则t=x-u，dt=-du
∴∫[0->x]tf(x-t)dt=-∫[x,0](x-u)f(u)du=∫[0,x](x-u)f(u)du
=x∫[0,x]f(u)du-∫[0,x]uf(u)du
∫[0->x]xf(x-t)dt=-x∫[x,0]f(u)du=x∫[0,x]f(u)du
求x->0极限时，分子分母都趋于0，可用洛比达法则
原式=lim[x∫[0,x]f(u)du-∫[0,x]uf(u)du]'/[x∫[0,x]f(u)du]'
=lim[∫[0,x]f(u)du+xf(x)-xf(x)]/[∫[0,x]f(u)du+xf(x)]
=lim[∫[0,x]f(u)du]/[∫[0,x]f(u)du+xf(x)]
=lim1/[1+xf(x)/∫[0,x]f(u)du]
=1/[1+limxf(x)/∫[0,x]f(u)du]
=1/[1+f(0)limx/∫[0,x]f(u)du]，这里再次用洛比达法则
=1/[1+f(0)lim1/f(x)]
=1/[1+f(0)/f(0)]=1/2