Question

如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边变作∠PBQ＝60°，BQ＝BP，连结CQ.

【1】观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明猜想
【2】若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，说明理由

Answer 1

解：（1）猜想：AP=CQ，
证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠QBC．
又AB=BC，BQ=BP，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ；

（2）由PA：PB：PC=3：4：5，
可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
连接PQ，在△PBQ中
由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，
∴△PBQ为正三角形．
∴PQ=4a．
于是在△PQC中
∵PQ^2+QC^2=16a^2+9a^2=25a^2=PC^2
∴△PQC是直角三角形．