Question

已知函数fx=(x+1)2,若存在实数a,使得f(x+a)≤2x-4对任意的x∈[2,t]恒成立,则实数t的最大值

Answer 1

函数fx=(x+1)2
存在实数a,使得f(x+a)≤2x-4
对任意的x∈[2,t]恒成立
即(x+a+1)^2≤2x-4
x^2+2ax+a^2+2a+5≤0
设g(x)=(x+a)^2+2a+5
. g(x)为开口朝上的抛物线，
若对任意的x∈[2,t],g(x)≤0恒成立，
只需函数在两个端点处的函数值非正即可。
首先需g(2)=a^2+6a+9≤0
即(a+3)^2≤0
只有a+3=0,a=-3

还需 g(t)=(t-3)^2-1≤0
==> -1≤ t-3≤1
==> 2≤t≤4
因为t>2
∴2<t≤4
所以t的最大值为4。