已知a,b∈R,且a²+ab+b²=3,求a²-ab+b²的最大值和最小值
2个回答
2013-08-20 · 知道合伙人教育行家
wangcai3882
知道合伙人教育行家
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本人擅长中学阶段数、理、化、生等理科知识，尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖，期望能为你答疑
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解：
a²+ab+b²=3≥2ab+ab=3ab （均值不等式）
∴ab≤1
a²+ab+b²=3=(a+b)²-ab
(a+b)²=3+ab≥0
∴-3≤ab≤1 -1≤-ab≤3
a²-ab+b²=a²+ab+b²-2ab=3-2ab
∵ -1≤-ab≤3
∴ -2≤-2ab≤6
∴3 -2≤3-2ab≤3+6
即 1≤3-2ab≤9
所以a²-ab+b²的最大值为9，最小值为1
a²+ab+b²=3≥2ab+ab=3ab （均值不等式）
∴ab≤1
a²+ab+b²=3=(a+b)²-ab
(a+b)²=3+ab≥0
∴-3≤ab≤1 -1≤-ab≤3
a²-ab+b²=a²+ab+b²-2ab=3-2ab
∵ -1≤-ab≤3
∴ -2≤-2ab≤6
∴3 -2≤3-2ab≤3+6
即 1≤3-2ab≤9
所以a²-ab+b²的最大值为9，最小值为1
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设a²-ab+b²的最大值和最小值分别为M，m
令t=a²-ab+b²，
由a²+ab+b²=3可得a²+b²=3-ab，
由基本不等式的性质，-（a²+b²）≤2ab≤a²+b²，
进而可得ab-3≤2ab≤3-ab，
解可得，-3≤ab≤1，
t=a²-ab+b²=3-ab-ab=3-2ab，
故1≤t≤9，
则M=9，m=1，
所以最大值和最小值分别为：9,1
令t=a²-ab+b²，
由a²+ab+b²=3可得a²+b²=3-ab，
由基本不等式的性质，-（a²+b²）≤2ab≤a²+b²，
进而可得ab-3≤2ab≤3-ab，
解可得，-3≤ab≤1，
t=a²-ab+b²=3-ab-ab=3-2ab，
故1≤t≤9，
则M=9，m=1，
所以最大值和最小值分别为：9,1
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