Question

设x∈R,f(x)=(1/2)^|x|,若不等式f(x)+f(2x)≤k对于任意的X∈R恒成立，求K的取值范围

Answer 1

解：因为f(x)=(1/2)^|x|，所以f(x)+f(2x)=(1/2)^|x|+(1/2)^|2x|=(1/2)^|x|+((1/2)^|x|)^2 令t=(1/2)^|x|，则f(x)+f(2x)=t+t^2=(t+1/2)^2-1/4 因为0≤|x|，所以0<(1/2)^|x|≤1，即0<t≤1 所以0<(t+1/2)^2-1/4≤2，即0<f(x)+f(2x)≤2 欲使不等式f(x)+f(2x)≤k对于任意的X∈R恒成立，必须且只需k>=2 K的取值范围为k>=2

Answer 2

f(x)+f(2x)=(1/2)^|x|+(1/2)^|2x|=(1/2)^|x|)+(1/4)^|x|
X=0时，取值最大为f(x)+f(2x)=2，
所以K大于等于2