Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连结DE．（1）求证：DE

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连结DE．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）连结OE，若cos∠BAD= 3 5 ，BE= 14 3 ，求OE的长．

Answer 1

（1）证明：如图1所示，连接OD，BD ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°． 在Rt△BDC中 ∵E是BC的中点，∴DE= 1 2 BC； ∴DE=BE；∴∠1=∠2． ∵OD=OB，∴∠3=∠4； ∵∠ABC=∠2+∠4=90° ∴∠ODE=∠1+∠3=90°， 即OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）∵E是BC的中点，O是AB中点， ∴OE ∥ AC， ∴∠BAD=∠BOE， ∴cos∠BAD=∠BOE= 3 5 ， 设OB=3x，则OE=5x， ∴BE=4x， ∵BE= 14 3 ， ∴x= 7 6 ， ∴OE=5x= 35 6 ．