Question

如图所示，光滑半圆形轨道处于竖直平面内，半圆轨道与光滑的水平地面相切于半圆的端点A。一质量为m的小球

如图所示，光滑半圆形轨道处于竖直平面内，半圆轨道与光滑的水平地面相切于半圆的端点A。一质量为m的小球在水平地面上的C点受水平向左的恒力F由静止开始运动，当运动到A点时撤去恒力F，小球沿竖直半圆轨道运动到轨道最高点B点，最后又落在水平地面上的D点（图中未画出）。已知A、C间的距离为L,重力加速度为g。 （1）若轨道半径为R，求小球到达圆轨道B点时对轨道的压力F N; （2）为使小球能运动到轨道最高点B，求轨道半径的最大值R m ；（3）轨道半径R多大时，小球在水平地面上的落点D到A点的距离最大？最大距离x m 是多少？

Answer 1

（1） ，方向竖直向上 （2）  （3）

试题分析：（1）设小球到达B点时速度为 ，根据动能定理有 设B点时轨道对小球的压力为 ，对小球在B点时进行受力分析如图，则有 根据牛顿第三定律可知小球对轨道的压力 ，方向竖直向上 （2）小球能够到达最高点的条件是 故轨道半径的最大值 （3）从B点飞出后做平抛运动，落地时间 D到A的距离 相当于二次函数求最大值的问题，最大值在 时取到 （因为 ，所以最大值可以取得到） 代入 ，得到此时最大距离 点评：小球在最高点时合外力等于向心力，过最高点的临界条件是小球对轨道的压力为零，即重力等于向心力。