Question

设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）

设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn＝an?log2a2n+1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）由已知得

a1+a2+a3＝7 (a1+3)+(a3+4) 2 ＝3a2

解得a₂=2．
设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，可得a₁=

2

q

，a₃=2q．
又S₃=7，可知

2

q

+2+2q=7，即2q²-5q+2=0，
解得q₁=2，q₂=

1

2

．由题意得q＞1，
∴q=2，
∴a₁=1，
∴a_n=2^n-1．
（2）由（1）知，b_n=2^n-1log₂2²ⁿ=n?2ⁿ，
故T_n=（1?2+2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ），
2T_n=1?2²+2?2³+3?2⁴…+（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹），
两式相减，可得：-T_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹）
=

2(1?2n)

1?2

-n?2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2--n?2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．