Question

已知：四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且 ．求证：（1

已知：四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且 ．求证：（1）四边形EFGH是梯形；（2）FE和GH的交点在直线AC上．

Answer 1

证明：已知如下图所示： （1）连接BD， ∵E，H分别是边AB，AD的中点， ∴EH∥BD 又∵  ， ∴FG∥BD 因此EH∥FG且EH≠FG 故四边形EFGH是梯形；  （2）由（1）知EF，HG相交， 设EF∩HG=K ∵K∈EF，EF 平面ABC， ∴k∈平面ABC 同理K∈平面ACD， 又平面平面ABC∩平面ACD=AC ∴K∈AC 故FE和GH的交点在直线AC上．