Question

如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60 °，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的

如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60 °，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；（3）求二面角P﹣BC﹣A的大小．

Answer 1

证明：（1）取PD的中点M， ∵E是PC的中点 ∴ME是△PCD的中位线 ∴ME∥FB ∴四边形MEBF是平行四边形 ∴BE∥MF ∵BE∥平面PDF， MF 平面PDF ∴BE∥平面PDF． （2）连接BD，易得△ABD为等边三角形 又由F为AB的中点 ∴DF⊥AB 又∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥DF 又由PA∩AB=A ∴DF⊥平面PAB 又∵DF 平面PDF ∴平面PDF⊥平面PAB． （3）过点A做AH⊥CB延长线于H， 因为PA⊥面ABCD， 所以PH⊥BC， 既∠PHA为二面角P﹣BC﹣A的平面角， 在Rt△ABC中 ， 所以∠PHA=30°既二面角P﹣BC﹣A的大小为30°．