Question

（1）判断函数f（x）=2x?1x?1在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义法给出证明；（2）判断函数g（x）=x3+

（1）判断函数f（x）=2x?1x?1在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义法给出证明；（2）判断函数g（x）=x3+1x的奇偶性，并用定义法给出证明．

Answer 1

（1）函数在区间（1，+∞）上是单调递减函数．
证明：对任意的1＜x₁＜x₂，则f(x1)?f(x2)＝

2x1?1

x1?1

?

2x2?1

x2?1

＝

x2?x1

(x1?1)(x2?1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）中宏瞎，
∴函数在区间（1，+∞）上是单调递减函数．
（2）函数g（x）=x3+

1

x

是奇函数．
证明：函数g（x）=x3+

1

x

的定义域为{x|x≠0}，绝神定义域关于原卖空点对称．
∵g(?x)＝(?x)3+

1

?x

＝?x3?

1

x

＝?(x3+

1

x

)＝?g(x)，
∴函数g（x）=x3+

1

x

是奇函数．