Question

已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosx，sinx），c=（sinx+2sinα，cosx+2cosα0，其中0﹤α﹤x﹤π。

⑴若α=π／4，求函数f（x）=b·c的最小值及相应想的值：⑵若a与b的夹角为π／3，且a⊥才，求tan2α的值。

Answer 1

解：(1) ∵ b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝π4， ∴ f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα ＝2sinxcosx＋2(sinx＋cosx)．(2分) 令t＝sinx＋cosx(0＜x＜π)，则2sinxcosx＝t2－1，且－1＜t≤2. 则y＝f(x)＝t2＋2t－1＝(t＋22)2－32，－1＜t≤2. ∴ t＝－22时，ymin＝－32，此时sinx＋cosx＝－22.(5分) 由于0＜x＜π，故x＝11π12. 所以函数f(x)的最小值为－32，相应x的值为11π12.(7分)
(2) ∵ a与b的夹角为π3， ∴ cosπ3＝a·b|a||b|＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．(9分) ∵ 0＜α＜x＜π，∴ 0＜x－α＜π，∴ x－α＝π3. ∵ a⊥⊥⊥⊥c，∴ cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0. ∴ sin(x＋α)＋2sin2α＝0，sin(2α＋π3)＋2sin2α＝0.(12分) ∴ 52sin2α＋32cos2α＝0，∴ tan2α＝－35.(14分)

Answer 2

a⊥才？相应想还是相应向量？