Question

设函数f(x)＝lnx+ax（1）证明 当a=-1，0＜x＜1时，f（x）＞-1x；（2）讨论f（x）在定义域内的零点个数，

设函数f(x)＝lnx+ax（1）证明 当a=-1，0＜x＜1时，f（x）＞-1x；（2）讨论f（x）在定义域内的零点个数，并证明你的结论．

Answer 1

解答：（1）证明：当a=-1时，令F（x）=f（x）+

1

x

=lnx-

x

+

1

x

，（1＞x＞0）．
则F′(x)＝

1

x

?

1

2 x

?

1

x2

=

2x?x x ?2

2x2

．
令

x

＝t（t∈（0，1））．则F′（x）=g（t）=

?t3+2t2?2

2t4

．
令h（t）=-t³+2t²-2，t∈（0，1）．
则h′（t）=-3t²+4t=t（4-3t）＞0，
∴h（t）在区间（0，1）上单调递增，∴h（t）＜h（1）=-1+2-2=-1＜0．
∴F′（x）＜0，∴F（x）在区间（0，1）上单调递减，
∴F（x）＞F（1）=0-1+1=0，即f(x)＞?

1

x

．
（2）解：f(x)＝lnx+a

x

，（x＞0）．
f′(x)＝

1

x

+

a

2 x

=

2+a x

2x

．
①当a≥0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
∵当x≥1时，f（x）≥f（1）=a＞0，因此f（x）在[1，+∞）上无零点，函数f（x）有唯一零点在（0，1）上．
②当a＜0时，令f′（x）=0，解得x=

4

a2

．
由f′（x）＞0，解得0＜x＜

4

a2

，函数f（x）在此区间上单调递增；由f′（x）＜0，解得x＞

4

a2

，函数f（x）在此区间上单调递减．
∴函数f（x）在x=

4

a2

处取得极大值，即最大值f(

4

a2

)=f(

4

a2

)＝2ln

2

?ae

．
1°令f(

4

a2

)＝0，解得a＝?

2

e

．即当a=?

2

e

时，函数f（x）有唯一零点x=e²．
2°当?

2

e

＜a＜0时，此时函数f（x）有两个零点x₁，x₂．其中，x1∈(0，

4

a2

)，x2∈(

4

a2

，+∞)．
3°当a＞?

2

e

时，f(

4

a2

)＜0，此时f（x）在区间（0，+∞）上无零点．综上所述：当a≥0时，函数f（x）有唯一零点在（0，1）上．
当?

2

e

＜a＜0时，函数f（x）有两个零点x₁，x₂．其中，x1∈(0，

4

a2

)，x2∈(

4

a2

，+∞)．
当a＞?

2

e

时，f（x）在区间（0，+∞）上无零点．