Question

如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG。 （1）连结GD，求证△ADG≌△ABE；（2）

如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG。 （1）连结GD，求证△ADG≌△ABE；（2）连结FC，求证∠FCN=45°；（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）根据同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根据“SAS”证得△ADG≌△ABE；（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，首先证△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根据AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可证得结果；（3）存在 （3）在AB上取AQ=BE，连接QD，首先证△DAQ、△ABE、△ADG三个三角形全等，易证得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得证．

试题分析：（1）根据同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根据“SAS”证得△ADG≌△ABE； （2）过F作BN的垂线，设垂足为H，首先证△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根据AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可证得结果； （3）在AB上取AQ=BE，连接QD，首先证△DAQ、△ABE、△ADG三个三角形全等，易证得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可证得结果． （1）如图 ∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形 ∴DA=BA，EA=GA，∠BAD=∠EAG=90° ∴∠DAG=∠BAE ∴△ADG≌△ABE； （2）过F作BN的垂线，设垂足为H ∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90° ∴∠BAE=∠HEF ∵AE=EF ∴△ABE≌△EHF ∴AB=EH，BE=FH ∴AB=BC=EH ∴BE+EC=EC+CH ∴CH=BE=FH ∴∠FCN=45°； （3）在AB上取AQ=BE，连接QD ∵AB=AD ∴△DAQ≌△ABE ∵△ABE≌△EHF ∴△DAQ≌△ABE≌△ADG ∴∠GAD=∠ADQ ∴AG、QD平行且相等 又∵AG、EF平行且相等 ∴QD、EF平行且相等 ∴四边形DQEF是平行四边形 ∴在AB边上存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形． 点评：本题知识点较多，难度较大，熟练掌握平面图形的基本概念是解答本题的关键.